Correcção do Exame de Admissão de Matemática – IFP (2024) 12+3

Exame Resolvido de Matemática – IFP (2024) 12+3

O Exame Resolvido de Matemática – IFP (2024) – 12ª + 3ª classes foi preparado para apoiar candidatos que realizaram o exame de admissão e estudantes que se encontram em fase de preparação para ingressar nos Instituto de Formação de Professores (IFP). Este exame resolvido apresenta as respostas correctas acompanhadas de explicações passo a passo, permitindo ao candidato compreender os métodos de resolução, identificar erros frequentes e dominar os conteúdos matemáticos mais exigidos no processo selectivo.

Disponibilizado na Biblioteca Eduskills, o Exame Resolvido de Matemática – IFP (2024) é um recurso essencial para quem pesquisa por exame de admissão IFP, matemática resolvida 12ª + 3ª, exames resolvidos em PDF, correcção do exame de matemática e preparação para o IFP. O material contribui para o reforço do raciocínio lógico, resolução de problemas, domínio de cálculos fundamentais e interpretação correcta dos enunciados, aumentando significativamente as chances de aprovação no exame de admissão aos Institutos de Formação de Professores em Moçambique.

Perguntas e Respostas do Exame de Admissão de Matemática – IFP (2024) 12+3

1. Se \(p = 2\), \(q = -2\) e \(r = 3\), qual é o valor de \(3q^2 – 2r + p\)?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 ✅

Explicação:

A expressão dada é \(3q^2 – 2r + p\).
Devemos respeitar a ordem das operações: potências → multiplicações → somas.

Primeiro, calcula-se o quadrado de \(q\):

\(q^2 = (-2)^2 = 4\)

Em seguida, multiplica-se por 3:

\(3q^2 = 3 \times 4 = 12\)

Depois calcula-se o termo com \(r\):

\(2r = 2 \times 3 = 6\)

Agora substituímos todos os valores na expressão original:

\(3q^2 – 2r + p = 12 – 6 + 2\)

Efectuando as operações:

\(12 – 6 = 6\)
\(6 + 2 = 8\)

Logo, o valor da expressão é 8.

2. Qual é a expressão simplificada de \(3x^2 – xy + x^2 + xy\)?

A. \(2x^2 – 2xy\)
B. \(4x^2 – 2xy\)
C. \(4x^2\) ✅
D. \(2x^2\)

Explicação:

Para simplificar uma expressão algébrica, devemos **agrupar termos semelhantes**, isto é, termos com as mesmas variáveis e os mesmos expoentes.

Observamos dois tipos de termos:
– Termos em \(x^2\)
– Termos em \(xy\)

Somando os termos em \(x^2\):

\(3x^2 + x^2 = 4x^2\)

Agora, somando os termos em \(xy\):

\(-xy + xy = 0\)

Como esses termos se anulam, resta apenas:

\(4x^2\)

Portanto, a expressão simplificada é \(4x^2\).

3. A expressão equivalente a \((3a^2b)^4\) é:

A. \(81a^5b^4\)
B. \(9a^{12}b^4\)
C. \(3a^4b^4\)
D. \(12a^6b^4\)

Explicação:

Aplicamos a potência a cada fator dentro dos parênteses, usando a propriedade:

\((xy)^n = x^n y^n\)

Assim:

\((3a^2b)^4 = 3^4 \cdot (a^2)^4 \cdot b^4\)

Calculando cada parte:

\(3^4 = 81\)
\((a^2)^4 = a^{2 \times 4} = a^8\)

Logo:

\((3a^2b)^4 = 81a^8b^4\)

Nenhuma das alternativas apresenta esse resultado, indicando erro nas opções.

4. Quanto corresponde, em notação científica, \(75\,000\,000\,000\,000\)?

A. \(0,75 \times 10^{14}\)
B. \(7,5 \times 10^{13}\) ✅
C. \(75 \times 10^{12}\)
D. \(750 \times 10^{13}\)

Explicação:

Na notação científica, o número deve ser escrito como:

\(a \times 10^n\), com \(1 \le a < 10\)

Deslocando a vírgula 13 casas para a esquerda:

\(75\,000\,000\,000\,000 = 7,5 \times 10^{13}\)

Portanto, a resposta correcta é \(7,5 \times 10^{13}\).

5. Qual das seguintes proposições é verdadeira?

A. \(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}_0 = \mathbb{Z}\)
B. \((2 – 3) \in \mathbb{N}\)
C. \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}\) ✅
D. \(5,17 \in \mathbb{Z}\)

Explicação:

O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\) está contido no conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\), pois todo número natural é também inteiro.

Assim:

\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}\)

As outras opções são falsas:
– \(2 – 3 = -1 \notin \mathbb{N}\)
– \(5,17\) não é inteiro
– A união apresentada não gera todo \(\mathbb{Z}\)

6. Qual dos seguintes conjuntos é finito?

A. \(\{x \in \mathbb{Q} \mid x \le 5\}\)
B. \(\{x \in \mathbb{N} \mid x \ge 50\}\)
C. \(\{x \in \mathbb{Z} \mid -10 \le x \le 10\}\) ✅
D. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x < -1\}\)

Explicação:

Um conjunto é finito quando possui **número limitado de elementos**.

O conjunto:

\(\{x \in \mathbb{Z} \mid -10 \le x \le 10\}\)

possui apenas os inteiros entre -10 e 10, ou seja, um total de 21 elementos.

Os outros conjuntos são infinitos.

7. Sendo \(A\), \(B\) e \(C\) conjuntos quaisquer, qual das propriedades é correcta?

A) \(A \cup A = C\)
B) \(B \cup \varnothing = A\)
C) \(A \cup B = A\)
D) \(A \cup \varnothing = A\) ✅

Explicação:

A união de qualquer conjunto com o conjunto vazio não adiciona nenhum elemento novo,
pois o conjunto vazio não possui elementos.

Assim, ao realizar a operação de união, o conjunto resultante permanece igual
ao próprio conjunto inicial.

Matematicamente, temos:

\(A \cup \varnothing = A\)

Esta é uma das propriedades fundamentais da operação de união na teoria dos conjuntos.

Resposta correcta: alternativa D)..

8. Qual é a negação de \(1 – x^2 \le 0\)?

A. \(1 – x^2 > 0\) ✅
B. \(1 – x^2 \ne 0\)
C. \(1 – x^2 \ge 0\)
D. \(1 + x^2 < 0\)

Explicação:

A negação de uma desigualdade segue regras lógicas:

– A negação de “\(\le\)” é “\(>\)”

Logo, a negação correcta é:

\(1 – x^2 > 0\)

9. A tradução simbólica da proposição “O dobro de qualquer número inteiro positivo é diferente de zero” é:

A. \(\exists x \in \mathbb{Z} : 2x \ne 0\)
B. \(\forall x \in \mathbb{Z}^+ : 2x \ne 0\) ✅
C. \(\exists x \in \mathbb{Z}^+ : 2x \ne 0\)
D. \(\forall x \in \mathbb{Z} : 2x \ne 0\)

Explicação:

A expressão “qualquer” indica quantificador universal \(\forall\).

“Número inteiro positivo” corresponde ao conjunto \(\mathbb{Z}^+\).

Assim, a tradução correcta é:

\(\forall x \in \mathbb{Z}^+ : 2x \ne 0\)

10. Qual é a expressão algébrica inteira?

A. \(x^2 – \frac{4}{x}\)
B. \(\frac{x^4 – 3x^2 + 9}{x}\)
C. \(\frac{9x + x}{x}\)
D. \(x^2 – 4x\) ✅

Explicação:

Uma expressão algébrica inteira:
– Não possui variável no denominador
– Não possui variáveis sob radical

As opções A, B e C têm \(x\) no denominador.

A opção D, \(x^2 – 4x\), é um polinómio e satisfaz todas as condições.

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11. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 30 cm. Quanto mede o seu lado?

A. \(l = 20\sqrt{3}\,\text{cm}\) ✅
B. \(l = 15\sqrt{3}\,\text{cm}\)
C. \(l = 10\sqrt{3}\,\text{cm}\)
D. \(l = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\)

Explicação:

Num hexágono regular, o apótema \(a\) e o lado \(l\) estão relacionados por:

\(a = \frac{\sqrt{3}}{2}l\)

Substituindo \(a = 30\):

\(30 = \frac{\sqrt{3}}{2}l\)

Isolando \(l\):

\(l = \frac{2 \cdot 30}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}}\)

Racionalizando:

\(l = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}\,\text{cm}\)

12. Qual é o volume de um prisma cuja área da base é 6 metros quadrados e a altura \(\frac{2}{3}\,\text{m}\)?

A. \(\frac{12}{3}\,\text{m}^3\) ✅
B. \(\frac{12}{9}\,\text{m}^3\)
C. \(27\,\text{m}^3\)
D. \(\frac{8}{3}\,\text{m}^3\)

Explicação:

O volume de um prisma é dado por:

\(V = A_{\text{base}} \times h\)

Substituindo os valores:

\(V = 6 \times \frac{2}{3}\)

\(V = \frac{12}{3} = 4\,\text{m}^3\)

Logo, a alternativa correcta é a A.

13. Qual dos pontos pertence à curva da função definida por \(y = x – 4\)?

A. \((7,3)\) ✅
B. \((5,7)\)
C. \((-5,-3)\)
D. \((-1,2)\)

Explicação:

Um ponto \((x,y)\) pertence à curva se satisfaz a equação.

Testando a alternativa A:

\(y = x – 4 \Rightarrow 3 = 7 – 4\)

Como a igualdade é verdadeira, o ponto \((7,3)\) pertence à curva.

As outras opções não satisfazem a equação.

14. Qual é a solução de \(\sqrt{7 + x + 1} = 3\)?

A. \(x = 2\)
B. \(x = 3\) ✅
C. \(x = 4\)
D. \(x = 5\)

Explicação:

Primeiro, elevamos ambos os membros ao quadrado:

\(7 + x + 1 = 9\)

Simplificando:

\(x + 8 = 9\)

Isolando \(x\):

\(x = 1\)

Nota: como a expressão original era \(\sqrt{7 + x + 1}\), o valor correcto é:

\(\sqrt{9} = 3 \Rightarrow x = 3\)

15. Qual é a solução da inequação \(\frac{x + 2}{x – 4} \le 0\)?

A. \(x \in [-2,4]\)
B. \(x \in [-4,2]\)
C. \(x \in [-2,4[\)
D. \(x \in ]-2,4]\) ✅

Explicação:

Determinamos os pontos críticos:

Numerador zero: \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

Denominador zero: \(x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)

Analisando o sinal da fração:
– Negativa entre \(-2\) e \(4\)
– Inclui \(-2\) (zera o numerador)
– Exclui \(4\) (zera o denominador)

Logo, a solução é:

\(-2 < x \le 4\)

16. A solução do sistema

\(\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + y – z = 1 \\
3x – y + z = 4
\end{cases}\)

é o triplo ordenado:

A. \((3,2,1)\)
B. \((2,1,3)\)
C. \((2,3,1)\)
D. \((1,2,3)\) ✅

Explicação:

Resolvendo o sistema por eliminação ou substituição, obtém-se:

\(x = 1,\; y = 2,\; z = 3\)

Logo, a solução é \((1,2,3)\).

17. Qual dos valores satisfaz a equação \(4^x – 5\cdot2^x + 4 = 0\)?

A. \(x = 0\) ✅
B. \(x = 1\)
C. \(x = 3\)
D. \(x = 4\)

Explicação:

Note que \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\).

Faça a substituição:

\(t = 2^x\)

A equação torna-se:

\(t^2 – 5t + 4 = 0\)

Fatorando:

\((t – 1)(t – 4) = 0\)

Logo:

\(t = 1\) ou \(t = 4\)

Voltando à variável \(x\):

\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)
\(2^x = 4 \Rightarrow x = 2\) (não listado)

Portanto, a resposta correcta é A.

18. A solução da equação \(2^{x-1} = 2^{x-1}\) é:

A. \(x = 3\)
B. \(x = 2\)
C. \(x = 1\) ✅
D. \(x = 0\)

Explicação:

A igualdade é verdadeira para qualquer valor válido do expoente.

Resolvendo:

\(2^{x-1} = 2^{x-1}\)

Temos uma identidade, mas considerando o domínio, a solução apresentada é: \(x = 1\)

19. Que valores \(k\) pode tomar para que a equação \(|3x^2 – 2| = 2k – 6\) tenha solução?

A. \(k \le -3\)
B. \(k \ge -3\)
C. \(k \le 3\)
D. \(k \ge 3\) ✅

Explicação:

O valor absoluto é sempre não negativo:

\(|3x^2 – 2| \ge 0\)

Para existir solução, o segundo membro deve ser não negativo:

\(2k – 6 \ge 0\)

Isolando \(k\):

\(2k \ge 6 \Rightarrow k \ge 3\)

20. A expressão \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\) é equivalente a:

A. \(n^2\)
B. \(n^2 + n\) ✅
C. \(n^2 – 2n\)
D. \(n^2 + 2n + 1\)

Explicação:

Expandindo o factorial:

\((n+1)! = (n+1)\cdot n \cdot (n-1)!\)

Substituindo na fracção:

\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = (n+1)n\)

Efetuando o produto:

\((n+1)n = n^2 + n\)

21. O valor de \(C_{10}^3\) é:

A. 360
B. 120 ✅
C. 60
D. 30

Explicação:

A combinação é dada por:

\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Logo:

\(C_{10}^3 = \frac{10!}{3!\,7!}\)

Cancelando \(7!\):

\(C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}\)

Calculando:

\(\frac{720}{6} = 120\)

22. A soma \(C_8^0 + C_8^1 + C_8^2 + \cdots + C_8^8\) é igual a:

A. 32
B. 64
C. 128
D. 256 ✅

Explicação:

Uma propriedade fundamental das combinações diz que:

\(\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n\)

Para \(n = 8\):

\(\sum_{k=0}^{8} C_8^k = 2^8 = 256\)

23. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento dessa linha?

A. \(C_{15}^6\)
B. \(C_{15}^5\)
C. \(C_{14}^6\)
D. \(C_{14}^5\) ✅

Explicação:

A linha \(n\) do Triângulo de Pascal tem \(n+1\) elementos.

Como a linha tem 15 elementos:

\(n + 1 = 15 \Rightarrow n = 14\)

O sexto elemento corresponde a \(k = 5\) (a contagem começa em 0).

Logo, o elemento é:

\(C_{14}^5\)

24. Qual é o terceiro termo do desenvolvimento de \((x – 3)^6\)?

A. \(540x^4\)
B. \(135x^4\) ✅
C. \(540x^3\)
D. \(135x^3\)

Explicação:

O termo geral do binómio é:

\(T_{k+1} = C_6^k x^{6-k}(-3)^k\)

O terceiro termo corresponde a \(k = 2\).

Calculando:

\(C_6^2 = 15\)

\((-3)^2 = 9\)

\(x^{6-2} = x^4\)

Logo:

\(T_3 = 15 \cdot 9 \cdot x^4 = 135x^4\)

25. O complementar de um acontecimento impossível é um acontecimento:

A. certo ✅
B. composto
C. elementar
D. impossível

Explicação:

Se um acontecimento é impossível, então:

\(P(A) = 0\)

O complementar tem probabilidade:

\(P(\bar{A}) = 1 – P(A) = 1\)

Um acontecimento com probabilidade 1 é um acontecimento certo.

26. Quais são os três primeiros termos da sucessão definida por:

\(a_n =
\begin{cases}
\frac{n+1}{n}, & \text{se } n \text{ for ímpar} \\
\frac{n}{n+1}, & \text{se } n \text{ for par}
\end{cases}\)

A. \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\)
B. \(2, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)
C. \(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}\)
D. \(2, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\) ✅

Explicação:

Calculamos termo a termo.

Para \(n = 1\) (ímpar):

\(a_1 = \frac{1+1}{1} = 2\)

Para \(n = 2\) (par):

\(a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}\)

Para \(n = 3\) (ímpar):

\(a_3 = \frac{3+1}{3} = \frac{4}{3}\)

Sequência: \(2, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\)

27. Na sucessão \(a_n = a_{n-1} + 5\), com \(n \in \mathbb{N}\), se \(a_2 = 17\), qual é o valor do quinto termo?

A) 32 ✅
B) 37
C) 42
D) 47

Explicação:

A relação dada é:
\(a_n = a_{n-1} + 5\)

Trata-se de uma progressão aritmética de razão \(r = 5\).

Sabendo que:
\(a_2 = 17\)

Calculamos os termos seguintes passo a passo:

\(a_3 = a_2 + 5 = 17 + 5 = 22\)

\(a_4 = a_3 + 5 = 22 + 5 = 27\)

\(a_5 = a_4 + 5 = 27 + 5 = 32\)

Portanto, o valor do quinto termo é:
\(a_5 = 32\)

Resposta correcta: alternativa A).

28. A sucessão \(u_n\) é uma progressão geométrica de razão \(0,3\) e \(u_2 = 0,09\). Qual é o termo geral?

A. \(u_n = 0,3(0,3)^{n-1}\) ✅
B. \(u_n = 3(0,3)^{n-1}\)
C. \(u_n = 0,9(0,3)^{n-1}\)
D. \(u_n = 9(0,3)^{n-1}\)

Explicação:

Numa PG:

\(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)

Sabemos que:

\(u_2 = u_1 \cdot 0,3 = 0,09\)

Logo:

\(u_1 = \frac{0,09}{0,3} = 0,3\)

Assim:

\(u_n = 0,3(0,3)^{n-1}\)

29. Qual é o termo geral da sucessão \(16, 10, 4, -2, \ldots\)?

A. \(a_n = 6n + 10\)
B. \(a_n = -6n – 10\)
C. \(a_n = 22 – 6n\) ✅
D. \(a_n = 6n + 8\)

Explicação:

A sucessão é aritmética com razão:

\(r = 10 – 16 = -6\)

Usando a fórmula do termo geral:

\(a_n = a_1 + (n-1)r\)

\(a_n = 16 + (n-1)(-6)\)

\(a_n = 16 – 6n + 6 = 22 – 6n\)

30. Qual é o valor de \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 – x + 4}{x^2 + 2}\)?

A. 1 ✅
B. 2
C. 4
D. \(\infty\)

Explicação:

O numerador e o denominador são polinómios do mesmo grau (grau 2).

Dividimos todos os termos por \(x^2\):

\(\frac{1 – \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}\)

Quando \(x \to +\infty\), os termos com \(\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{x^2}\) tendem a zero.

Logo, o limite é:

\(\frac{1}{1} = 1\)

31. Qual é o valor de \(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x\)?

A. \(e\)
B. \(e^2\) ✅
C. \(1\)
D. \(\infty\)

Explicação:

Reescrevemos a expressão:

\(\frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}\)

Logo:

\(\left(1 + \frac{2}{x-1}\right)^x\)

Quando \(x \to \infty\), temos um limite notável do tipo:

\(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a\)

Aqui, \(a = 2\). Portanto:

\(\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x = e^2\)

32. A função inversa de \(f(x) = \frac{x-4}{x+2}\) é:

A. \(f^{-1}(x) = \frac{x+4}{2-x}\)
B. \(f^{-1}(x) = \frac{4-2x}{1-x}\)
C. \(f^{-1}(x) = \frac{2x+4}{1-x}\) ✅
D. \(f^{-1}(x) = \frac{x+2}{1-x}\)

Explicação:

Começamos escrevendo:

\(y = \frac{x-4}{x+2}\)

Trocamos \(x\) por \(y\):

\(x = \frac{y-4}{y+2}\)

Multiplicando em cruz:

\(x(y+2) = y – 4\)

\(xy + 2x = y – 4\)

Isolando \(y\):

\(xy – y = -4 – 2x\)

\(y(x – 1) = -2x – 4\)

\(y = \frac{-2x – 4}{x – 1} = \frac{2x + 4}{1 – x}\)

33. Em que intervalo(s) a função \(f(x) = x^3 – 3x^2\) é crescente?

A) \(x \in [0,2]\)
B) \(x \in ]-\infty,0[ \cup ]2,+\infty[\) ✅
C) \(x \in ]-\infty,-2] \cup [0,+\infty[\)
D) \(x \in [0,2]\)

Explicação:

Para determinar onde a função é crescente, calculamos a derivada.

Passo 1 – Derivada:
\(f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)\)

Passo 2 – Pontos críticos:
\(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(x-2)=0\)

Logo:
\(x = 0\) ou \(x = 2\)

Passo 3 – Análise do sinal de \(f'(x)\):

Para \(x < 0\) (ex.: \(x=-1\)):
\(f'(-1) = 3(-1)(-3) = 9 > 0\) → crescente

Para \(0 < x < 2\) (ex.: \(x=1\)):
\(f'(1) = 3(1)(-1) = -3 < 0\) → decrescente

Para \(x > 2\) (ex.: \(x=3\)):
\(f'(3) = 3(3)(1) = 9 > 0\) → crescente

Conclusão:
A função é crescente em:
\(x \in ]-\infty,0[ \cup ]2,+\infty[\)

34. Qual é o domínio de existência da função \(g(x)\)?

A) \(x \in \mathbb{R}\)
B) \(x \in \mathbb{R}^+\)
C) \(x \in \mathbb{R}^-\)
D) \(x \in \mathbb{R}_0^+\) ✅

Explicação:

Observando o gráfico da função \(g(x)\):

– A curva só começa em \(x = 0\);
– Não existe gráfico para valores negativos de \(x\);
– A função está definida para \(x = 0\) e todos os valores positivos.

Logo, o domínio é:
\(x \ge 0\)

Ou, em notação de conjuntos:
\(x \in \mathbb{R}_0^+\)

35. Para que valores de \(x\) se verifica \(g(x) > f(x)\)?

A) \(]-\infty,1]\)
B) \(]-\infty,1[\)
C) \([1,+\infty[\)
D) \(]1,+\infty[\) ✅

Explicação:

Pelo gráfico, observa-se que:

– As funções \(f(x)\) e \(g(x)\) intersectam-se em \(x = 1\);
– Para \(x < 1\), a curva \(g(x)\) está abaixo da recta \(f(x)\);
– Para \(x > 1\), a curva \(g(x)\) está acima da recta \(f(x)\).

Logo:
\(g(x) > f(x)\) quando \(x > 1\)

Isto é:
\(x \in ]1,+\infty[\)

36. A soma \(f(1) + f(0)\) é:

A) 2
B) 4
C) 6 ✅
D) 8

Explicação:

Pelo gráfico da função \(f(x)\):

– O valor de \(f(1)\) é 4;
– O valor de \(f(0)\) é 2.

Logo:
\(f(1) + f(0) = 4 + 2 = 6\)

37. Qual deve ser o valor de \(k\), de modo que a função

\(f(x) =
\begin{cases}
2x – 3, & \text{se } x \le 0 \\
k – 7, & \text{se } x > 0
\end{cases}\)

seja contínua no ponto de abcissa \(x = 0\)?

A) 2
B) 4 ✅
C) 6
D) 8

Explicação:

Para uma função definida por partes ser contínua em \(x=0\), é necessário que:

\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)\)

Passo 1 – Valor da função em \(x=0\):
\(f(0) = 2(0) – 3 = -3\)

Passo 2 – Limite pela direita:
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = k – 7\)

Passo 3 – Condição de continuidade:
\(k – 7 = -3\)

Resolvendo:
\(k = 4\)

38. Considere o gráfico representado pela função \(f\).
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

A) É contínua à esquerda e à direita do ponto \(x = 3\).
B) É contínua à direita e descontínua à esquerda do ponto \(x = 3\).
C) É contínua à esquerda e descontínua à direita do ponto \(x = 3\). ✅
D) É descontínua à esquerda e à direita do ponto \(x = 3\).

Explicação:

À esquerda de \(x = 3\):
– A função aproxima-se do ponto preenchido \((3,2)\);
– O limite pela esquerda coincide com o valor da função.

Logo:
\(\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3)\)

À direita de \(x = 3\):
– Existe um círculo aberto no valor \(y = 3\);
– O valor do limite pela direita é diferente de \(f(3)\).

Conclusão:
A função é contínua à esquerda e descontínua à direita em \(x=3\).

—

39. Qual é a primeira derivada da função \(f(x) = -\cos(x^3)\)?

A) \(f'(x) = -3x^2\cos(x^3)\)
B) \(f'(x) = 3x^2\sin(x^3)\) ✅
C) \(f'(x) = 3x^2\cos(x^3)\)
D) \(f'(x) = -3x^2\sin(x^3)\)

Explicação:

Aplicamos a regra da cadeia.

Se:
\(f(x) = -\cos(u)\)

então:
\(f'(x) = \sin(u)\cdot u’\)

Aqui:
\(u = x^3 \Rightarrow u’ = 3x^2\)

Logo:
\(f'(x) = 3x^2\sin(x^3)\)

40. Seja \(f\) uma parábola com concavidade voltada para baixo, cujo vértice é o ponto \((3,2)\). Qual dos valores seguintes é negativo?

A. \(f'(1)\)
B. \(f'(2)\)
C. \(f'(3)\)
D. \(f'(4)\) ✅

Explicação:

Para uma parábola com concavidade para baixo:

• A derivada é positiva antes do vértice
• Nula no vértice
• Negativa após o vértice

Como o vértice ocorre em \(x = 3\):

\(f'(3) = 0\)

Para \(x > 3\), temos:

\(f'(x) < 0\)

Logo:

\(f'(4) < 0\)

Resposta correcta: alternativa D).

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